1. Structures algébriques fondamentales
Notions de logique mathématique : Assertions, connecteurs logique, quantificateurs.
Ensembles : Notions d'ensembles, sous-ensembles, opérations sur les ensembles, produits cartésiens.
Relations binaires : relation d'équivalence, relation d'ordre.
Applications et fonctions : injections, surjections, bijections, et applications réciproques.
Groupes : Notions de groupe, sous-groupe, groupes abéliens.
Anneaux et corps : Définition des anneaux, corps, propriétés des anneaux commutatifs.
Polynômes : Opérations sur les polynômes, divisions euclidiennes, factorisation, et racines.
2. Espaces vectoriels
Définition et exemples : Notion d’espace vectoriel sur un corps, exemples de ℝ et ℂ, sous-espaces vectoriels.
Bases et dimensions : Bases d’un espace vectoriel, existence de bases, dimension d’un espace vectoriel, rang d'une famille de vecteurs.
Applications linéaires : Définition, noyau, image, théorème du rang, et applications entre espaces de dimensions finies.
3. Matrices et systèmes d'équations linéaires
Définition et opérations : Matrices carrées, transposition, matrices inversibles, et matrices particulières (diagonales, triangulaires).
Résolution des systèmes linéaires : Méthodes de Gauss, matrices augmentées, et interprétation géométrique.
Déterminants : Calcul des déterminants, développement par rapport aux mineurs, et applications aux matrices inversibles.
4. Réduction des endomorphismes et des matrices
Valeurs propres et vecteurs propres : Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres, polynôme caractéristique, diagonalisation des matrices.
Réduction de matrices : Diagonalisation et trigonalisation.