The mechanics presented here concern exclusively the mechanics of the point.
In practice, it concerns material objects whose spatial extension is very small: their deformations and the energy linked to their own rotational movement can therefore be neglected in comparison with the energies involved. However, an object as voluminous such as the earth or the sun can in some cases be assimilated to a point in terms of its action on bodies in its surroundings, for instance.
Le cours d'algèbre de première année en classes préparatoires aux grandes écoles (CPGE) scientifiques constitue un socle fondamental pour la formation des étudiants en mathématiques. Il couvre plusieurs aspects théoriques de l'algèbre, allant des structures de base aux théorèmes importants, en passant par la résolution de problèmes concrets. Voici les principaux thèmes abordés dans le programme :
1. Structures algébriques fondamentales
Notions de logique mathématique : Assertions, connecteurs logique, quantificateurs.
Ensembles : Notions d'ensembles, sous-ensembles, opérations sur les ensembles, produits cartésiens.
Relations binaires : relation d'équivalence, relation d'ordre.
Applications et fonctions : injections, surjections, bijections, et applications réciproques.
Groupes : Notions de groupe, sous-groupe, groupes abéliens.
Anneaux et corps : Définition des anneaux, corps, propriétés des anneaux commutatifs.
Polynômes : Opérations sur les polynômes, divisions euclidiennes, factorisation, et racines.
2. Espaces vectoriels
Définition et exemples : Notion d’espace vectoriel sur un corps, exemples de ℝ et ℂ, sous-espaces vectoriels.
Bases et dimensions : Bases d’un espace vectoriel, existence de bases, dimension d’un espace vectoriel, rang d'une famille de vecteurs.
Applications linéaires : Définition, noyau, image, théorème du rang, et applications entre espaces de dimensions finies.
3. Matrices et systèmes d'équations linéaires
Définition et opérations : Matrices carrées, transposition, matrices inversibles, et matrices particulières (diagonales, triangulaires).
Résolution des systèmes linéaires : Méthodes de Gauss, matrices augmentées, et interprétation géométrique.
Déterminants : Calcul des déterminants, développement par rapport aux mineurs, et applications aux matrices inversibles.
4. Réduction des endomorphismes et des matrices
Valeurs propres et vecteurs propres : Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres, polynôme caractéristique, diagonalisation des matrices.
Réduction de matrices : Diagonalisation et trigonalisation.
1. Structures algébriques fondamentales
Notions de logique mathématique : Assertions, connecteurs logique, quantificateurs.
Ensembles : Notions d'ensembles, sous-ensembles, opérations sur les ensembles, produits cartésiens.
Relations binaires : relation d'équivalence, relation d'ordre.
Applications et fonctions : injections, surjections, bijections, et applications réciproques.
Groupes : Notions de groupe, sous-groupe, groupes abéliens.
Anneaux et corps : Définition des anneaux, corps, propriétés des anneaux commutatifs.
Polynômes : Opérations sur les polynômes, divisions euclidiennes, factorisation, et racines.
2. Espaces vectoriels
Définition et exemples : Notion d’espace vectoriel sur un corps, exemples de ℝ et ℂ, sous-espaces vectoriels.
Bases et dimensions : Bases d’un espace vectoriel, existence de bases, dimension d’un espace vectoriel, rang d'une famille de vecteurs.
Applications linéaires : Définition, noyau, image, théorème du rang, et applications entre espaces de dimensions finies.
3. Matrices et systèmes d'équations linéaires
Définition et opérations : Matrices carrées, transposition, matrices inversibles, et matrices particulières (diagonales, triangulaires).
Résolution des systèmes linéaires : Méthodes de Gauss, matrices augmentées, et interprétation géométrique.
Déterminants : Calcul des déterminants, développement par rapport aux mineurs, et applications aux matrices inversibles.
4. Réduction des endomorphismes et des matrices
Valeurs propres et vecteurs propres : Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres, polynôme caractéristique, diagonalisation des matrices.
Réduction de matrices : Diagonalisation et trigonalisation.
